श्रावण १ गते, २०७६

अनुक्रम र श्रेणी (Sequence and Series)

अवधारणा(Concept):

दुई वा दुईभन्दा बढी संख्या वा वस्तुहरुको क्रमबद्ध व्यवस्थालाई अनुक्रम भनिन्छ । यसरी क्रमवद्ध व्यवस्थामा रहेको संख्या वा वस्तुलाइ उक्त अनुक्रमको तत्व (element) वा पद (term) भनिन्छ । अनुक्रममा रहेका पदहरुलाई जोडिएको छ वा पदहरुबीच + चिन्ह राखिएको छ भने त्यसलाई श्रेणी भनिन्छ र परिमाणात्मक मानलाई योग (sum) वा योगफल (summation) भनिन्छ ।
उदाहरणको लागि
”1,2,3,4 एउटा अनुक्रम हो जसका पदहरु 1″,”2″,”3″and”4″ छन् र यसको सम्बन्धित श्रेणी “1+2+3+4”  हो ।

ध्यानाकर्षण (Attention):

अनुक्रम र श्रेणीलाई एकैरुपमा राखी सोध्ने गरेको देखिएकोले यी दुई बीच भिन्नता छुट्याउन लाग्नु भन्दा एकैरुपमा बुझेर नै समस्या समाधान गर्न उपयुक्त हुन्छ । यस अन्तर्गत अन्तर समान वा असमान हुने  Ascending  order series, decending order series ,  Arithmetic series, geometric series, mixed series  etc. मा आधारित प्रश्नहरु सोध्ने गरिन्छ ।

अनुक्रम र श्रेणीसम्बन्धी केही सूत्रहरुः 

  • कुनै समानान्तीय श्रेणीको पहिलो पद (a),  समान अन्तर (d) छ भने कुनै पद (tn) निकाल्ने सूत्र,

tn = a + (n – 1)d    (where d = t2 – t1, or tn – tn–1)

  • कुनै समानान्तरीय श्रेणीको पहिलो पद (a), समानान्तर अन्तर (d) छ भने n पदहरुको योगफल (Sn) पत्ता लगाउने सूत्र,

Sn =n/2[2+(n-1)d]

अथवा, Sn = = n/2(a+1)

Where l = tn

  • कुनै गुणोत्तर श्रेणीको पहिलो पद (a),समान अनुपात (r) छ भने कुनै पद(tn) निकाल्ने सूत्र, tn = a.rn–1 Where, r =tn/tn-1
  • कुनै गुणोत्तर श्रेणीको n पदहरुको योगफल

=

  • प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3, 4, 5 …………n) को योग निकाल्ने सूत्र, = n(n+1)/2

उदाहरणः 1, 2, 3, 4, ………..50 सम्मको योगफल कति हुन्छ ?

= 50*(50+1)/2

=50*51/2

=1275

  • पहिलो जोर संख्या (2, 4, 6, 8, 10, ……….n) को योगफल निकाल्ने सूत्र = n(n + 1)

उदाहरणः  2, 4, 6, 8, 10, …..25 को योगफल कति हुन्छ ?

= n(n + 1) = 25 × 26 = 650

  • पहिलो विजोर संख्या (1, 3, 5, 7, 9, ……..n) को योगफल निकाल्ने सूत्र = n2

उदाहरणः  1, 3, 5, 7, 9, ………. 25 को योगफल निकाल्नुहोस् ।

n2 = (25)2 = 625

  • पहिला प्राकृतिक संख्याको वर्गको योगफल (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ……… n2 )

=n(n+1)(2n+1)/6

उदाहरणः  12 + 22 + 32 + ………. + 15 वटा संख्याहरुको योगफल कति हुन्छ ?

=n(n+1)(2n+1)/6

=15*16(30+1)/6

=155*16*31/6

= 1240

  • पहिला प्राकृतिक संख्याको घनको योगफल (13 + 23 + 33 + 43 + ……… + n3)

=

उदाहरणः 13 + 23 + 33 + 43 + ……. 10 वटा संख्याहरुको योगफल कति हुन्छ ?

=

= 3025

अनुक्रम/श्रेणीबाट सोधिन सक्ने प्रश्नहरु :

Type : 1 समान अन्तर हुने वा समान अन्तर नहुने बढ्दो वा घट्दो क्रमका समानान्तरीय श्रेणी (Arithmetic Series) जस्तैः

  • अन्तर समान हुने बढ्दो क्रमका श्रेणी

i) 2, 5, 8, 11, 14, …………….

ii) 3, 6, 9, 12, 15 ……………

iii)     8, 16, 24, 32 ……………..

  • अन्तर समान हुने घट्दो क्रमका श्रेणी

i) 10, 7, 4, 1, –2, ………..

ii) 30, 20, 10, ……………

iii)     51, 43, 35, 27, 19, 11…

  • अन्तर समान नहुने बढ्दो क्रमका श्रेणी

i) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ……… (2, 3, 4, ………. ले बढ्दै जाने)

ii) 2, 4, 7, 11, ………….. (2, 3, 4, ……….ले बढ्दै जाने)

iii)     1, 2, 5, 14, 41, 124, …………. (1, 3, 9, 27, 81, ले बढ्दै जाने)

  • अन्तर समान नहुने घट्दो क्रमका श्रेणी

i) 150, 140, 125, 105, 80, …… (10, 15, 20, 25, लेघट्दै जाने)

ii) 14, 5, 2, 1, ………. (9, 3, 1, , ले घट्दै जाने)

Type 2 : समान अनुपात हुने वा समान  अनुपात नहुने बढ्दो वा घट्दो क्रमका गुणोत्तर श्रेणी

  • समान अनुपात हुने बढ्दो क्रमका श्रेणी

i) 5, 10, 20, 40 …………

ii) 7, 21, 63, 189 ………..

  • समान अनुपात हुने घट्दो क्रमका श्रेणी

i) 81, 27, 9, 3, – 1…………

ii) 5000, 1000, 200, 40, 8 ……..

  • समान अनुपात नहुने घट्दो क्रमका श्रेणी

i) 120, 24, 6, 2, ……….. (5, 4, 3, ……….. को अनुपात हुने गरी घट्दै जाने श्रेणी)

  • समान अनुपात नहुने बढ्दो क्रमका श्रेणी

i) 3, 6, 18, 72, ……….. (2, 3, 4, ……. को अनुपात हुने गरी बढ्दै जाने श्रेणी)

Type 3 : रुढ संख्या, वर्ग संख्या, घन संख्या आदिको श्रेणी

i) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17………………

ii) 4, 9, 25, 49, 121, ……… (रुढ संख्याको वर्ग संख्या)

iii)     1, 4, 9, 16, 25, …………  (प्राकृतिक संख्याको वर्ग संख्या i.e. n2)

iv) 2, 5, 10, 17, 26, ………. (x2 + 1)

v) 2, 6, 20, 30, ………. (x2 + x)

vi) 0, 2, 6, 12, 20, 30, ……….. (x2 – x)

vii)     5, 7, 13, 23, 41 -0, 1,2, 3,… संख्या छोड्दै रुढ संख्या हुँदै जाने)

viii)    1, 2, 6, 15, 31, 56, 92, ………. (अन्तर 12, 22, 32, 42, ………. हुँदै जाने)

ix) 61, 52, 63, 94, 46, ………. (अबको स्थान परिवर्तन गर्दा 42, 52, 62, 72…… हुँदै गएका)

x) 1, 8, 27, 64, 125,……….. (x3)

xi) 0, 6, 24, 60, ……….. (x3 – x)

xii)     7, 15, 42, 106, 231, 447, ….. (23, 33, 43 ….. ले बढ्दै जाने)

Type 4 : उपरोक्त अनुसार एकभन्दा बढी श्रेणीहरुसँगै मिसाइएको श्रेणी

4, 3, 8, 6, 12, 9,16, 12, ……. (यहाँ एउटा श्रेणी, 4, 8, 12, 16…. छ भने अर्को श्रेणी 3, 6, 9, 12, ….. छ)

Type 5 : Fibonancy संख्याको श्रेणी अर्थात श्रेणीको तेस्रो संख्या अघिल्लो दुईवटा संख्याको योग हुन्छ र यो क्रम दोहोरिरहन्छ ।

i)               6, 7, 13, 20, 33, 53, 86,…..

ii)            1 ,2,3, 5, 8, 13, 18, 31,….

iii)          1, 3, 4, 7, 11, 18

Type 6 : निश्चित स्थानमा एउटा स्थिर संख्या देखा पर्ने श्रेणी

i) 50, 45, 88, 40, 35, 88, 30, 25, 88 …. यहाँ एउटा श्रेणी, 50, 45, 40, 35 ….हुँदै बनेको छ तर दुईवटा संख्यापछि एउटा स्थिर संख्या 88 देखिएको छ ।

Type 7 : विविध किसिमका श्रेणी (जस्तो एउटै श्रेणीमा mixed operation गरिएका, digits मा operation गरिएका )

i) 11, 33, 35, 105, 107, … यहाँ श्रेणी क्रमशः x 3 अनि +2 गर्दै बनेको )

ii) 0, 10, 30, 32, 96, 98,…

iii)     52, 25, 77, 77, 154, 451, 605,…(यहाँ श्रेणीमा पहिलोपटक उल्ट्याइएको छ, र दोस्रो पटक अंक जोडिएको छ ।)

Type  8 : Triangular pattern series,

दिइएको श्रेणीमा छुटेको संख्या कुन होला ?        3, 20, 63, 144, 275 ?

3 20 63 144 275 ?
17 43 81 131
26 38 50
12 12

छुटेको संख्या = 50 + 12 = 62, 131 + 62 = 193 + 275  = 468

 

Type 9 : कुनै अक्षर, अंक आदिको स्थान निकाल्नु पर्ने  प्रश्न । जस्तैः

ABBCCCDDDD….. को ९५ औं अक्षर के हुन्छ ?

यस्तो प्रश्नको समाधान गर्दा ध्यान दिनुपर्ने कुराहरुः

  • Sequence कस्तो छ ? Single, double or triple कस्तो छ हेर्नुपर्दछ ।

जस्तैः ABBCCC…., ZYYXXX…., AABABC…, आदि Single series हुन् भने

aAbbBBcccCCC…, aAabABabcABC…आदि double series हुन् ।

  • Sequence को बनावट कस्तो छ ? एउटै अक्षर दोहोरिन्छ कि खास अक्षरबाट शुरु हुन्छ ? सो हेर्नुपर्दछ । जस्तैः

ABBCCC… मा एउटै letter दोहोरिएको छ भने अर्को series AABABC… मा प्रत्येक अवस्थामा A बाट शुरु भएर अगाडि बढ्छ ।

  • Sequence उल्टो वा सुल्टो कुन क्रममा छ सो हेर्नुपर्दछ जस्तैः AABABC… वा ZZYZYZ…..
  • यस्तो समस्याहरुको समाधान गर्न प्राकृतिक संख्याको भोग निकाल्ने निम्न सूत्र प्रयोग गर्नुपर्दछ Sn = n(n+1)/2

माथिको प्रश्नको समाधान गर्दा

A                BB                        CCC                      DDDD

1                 2                           3                           4

यसरी sequence मा letter को place value जति छ, त्यति नै पटक letter दोहोरिएको छ, अर्थात् दोहोरिएको संख्या अनुरुप प्राकृतिक संख्या  (Natural Number) को Sequence प्राप्त हुन्छ ।

Sn =n(n+1)/2

अब A, B, C, D को क्रम (n) यस्तो छनौट गर्नुप¥यो कि ls Result 95 वा केही कम प्राप्त होस् । Trial and Error बाट n गणना गर्नुपर्दछ ।

n = 13 (अर्थात् : को क्रम लिँदा)

Sn =13*14/2=91

यसबाट के बुझिन्छ भने तेह्रौं स्थानको अक्षर :, 13 पटक दोहोरिँदा अन्तिम अक्षर : sequenceको शुरुबाट 91 औं स्थान आउँछ । अब,

A BB CCC ….. M      N      N       N       N       N      N       N …..

                  91    92     93      94     95    96     97     98

तसर्थ 95  औं स्थानमा N आउँछ ।

2.  AABABCABCD… को पचासौं अक्षर के हुन्छ ?

समाधानः A/1,   AB/2,   ACB/3,   ABCD/4

यस sequence मा letter को place value जति छ त्यतिसम्म नै letter A बाट सो letter सम्म गएको छ,अर्थात् माथिल्लो उदाहरण जस्तै प्राकृतिक संख्याको अनुक्रम प्राप्त हुन्छ । प्राकृतिक संख्याको योग निकाल्ने सूत्र प्रयोग गर्दा,

Sn =n(n+1)/2

अब n यस्तो छनौट गर्नुपर्यो कि result 50 वा केही कम प्राप्त हुन् ।

n = 9 (I को क्रम लिँदा,)

Sn = 9*10/2 = 45

अब, अनुक्रम यस्तो बन्ने देखिन्छ ।

A AB ABC ……… I        A        B       C       D      E      F       G     H     I      J

                         45      46       47     48     49      50    51   52   53    54    55

तसर्थ पचासौं स्थानमा E पर्दाे रहेछ ।

3.  aAabABabcABC……. को 50औं अक्षर के हुन्छ ?

समाधानः

यहाँdouble sequenceभएकोले माथिजस्तै अवधारणा प्रयोग गर्दा यस्तो n छान्नुप¥यो जो सम्मको प्राकृतिक संख्याको योगलाई 2 ले गुणा गर्दा चाहिएको अंक वा अलिकति कम होस् । n = 6  लिँदा योग 42 हुन्छ र यसमा  sequence यस्तो बन्न जान्छ :

aAabAB…….. F abc de fg A B C D E

यसप्रकार 50 औं स्थानमा A हुन्छ ।

4.  a1A ab12 ABabc 123 ABC ……. को 92 औं र 95 औं अक्षर के के हुन्छ ?

समाधानः माथिको उदाहरणमा भएजस्तै अवधारणा प्रयोग गर्दा यस्तो n छान्नुप¥यो जोसम्मको प्राकृतिक संख्याको योगलाई 3 ले गुणा गर्दा चाहिएको अंक वा अलिकति कम होस् । n = 7  लिँदा ( G लिँदा)

Sn =n(n+1)/2*3

=7*8*3/2

= 84

अब, Sequence यस्तो बन्ने देखिन्छ ।

……….. ……      

तसर्थ 90 औं अक्षर  f  र 95औं अक्षर 3 हुन आउँछ ।

Model Practice Questions-Series (Numerical)

सही विकल्प छनौट गरी श्रेणी पूरा गर्नुहोस् –

1. 1, 8, 27, 64 …………..

a) 81          b) 125              c) 216                        d) 343

2. 3, 7, 12, 18, …………….

a) 24           b) 25            c) 26                          d) 28

3. 90, 72, 54, 36, 18, ………. ?

a) 4           b)                      8 c) 2                            d) 0

4. 1, 2, 6, 24, ?

a) 60               b) 70          c) 120                        d) 140

5.     1, 1, 4, 8, 9, (?), 16, 64

A) 12            B) 24          C) 25                         D) 27

6. 197, 376, 555, 734, (?)

A) 913              B) 935          C) 123                        D) 912

7. 4, 9, 19, 39 , 79, (?)

A) 159 B) 156                      C) 157                        D)120

8.  4, 16, 36, 64, ……..

a) 81 b) 100 c) 121                        d) 144

9. 11, 13, 17, 19, 23, 25, ……

a) 26 b) 27 c) 28                          d) 29

10. 6, 17, 39, 72, ……..

a) 83 b) 94 c) 116                        d) 127

11. 1, 5, 14, 30, 55, (?), 140

A) 95 B) 91 C) 100                        D) 85

12. 216, 343, 512, 729, ?

A) 1181 B) 1000 C) 829                        D) 1728

13. 1, 1, 4, 8, 9, 27, 16, ……?

a) 32 b) 64 c) 81                          d) 256

14. 2, 6, 12, 36, 72, …….

a) 196 b) 214 c) 216                        d) 220

15.  4, 11, 7, 14, 10, 17, ……?

a) 13 b) 15 c) 20                          d) 23

16. 3, 2, 5, 3, 8, 4, 12, 5, …….?

a) 16 b) 5 c) 12                          d) 17

17. 1, 5, 20, 60, …..?

a) 120 b) 130 c) 100                        d) 110

18 . 1, 2, 4, (?), 11, 16

A) 6 B) 7 C) 8                           D) 9

19. 8, 18, 30, 44 , ?

A) 50 B) 55                        C) 60                         D) 62

20. 343, 49, 216, 36, 125, 25,…….

a) 64 b) 16 c) 27                          d) 81

21. 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ?

a) 55 b) 50 c) 60                          d) 58

22. 101, 65, 37, 17, ……

a) 5 b) 6 c) 3                            d) 8

23. 1/3,4/2,3/5,6/4,5/7 ………………….

a)7/8              b)8/6                     c) 6/8         d)8/7

24. 70, 71, 76, ? 81, 86, 70, ….. 96

a) 70, 91 b) 91, 70 c) 71, 81                     d) 81, 9

25. 5, 7, 10, 9, 11, 10, ……

a) 12 b) 13 c) 14                          d) 15

26. 8, 12, 9, 13, 10, 14, 11, ……? 

a) 15, b) 8 c) 10                          d) 14

27. 5, 9, 16, 29, 54, …..?

a) 103 b) 101 c) 105                        d) 99

28.1, 4, 10, 22, 46, ?

64 b. 86 c. 94                         d. 122

29.48, 24, 96, 48, 192, ? 

a.76 b. 90 c. 96                          d. 98

30. 6, 13, 28, 59, ?

a. 111 b. 113 c. 1144                       d. 122

31. Which term of the series 5, 8, 11, 14, …….. is 320 ? 

a.   104th b. 105th c. 106th                      d. 64th

32. 2, 5, 10, 50, ? 

a) 450 b) 500 c) 100                        d) 200

33. 4, 6, 12, 14, 28, 30, ?

a) 32 b) 60 c) 62                          d) 64

Answer Sheet
Question Number Answer Reason
1 b 13, 23, 33, ………. हुँदै गएको ।
2 b   4, 5, 6, 7, …….. ले बढ्दै गएको ।
3 d 18 ले घट्दै गएको ।
4 c 2, 3, 4, 5  ले गुणन हुँदै गएको
5 d दुइवटा श्रेणी पहिलो श्रेणी 1,2,,3,..को वर्ग र अर्को श्रेणी 1,2,,3,.. को घन संख्याबाट बनेको
6 a 179  ले बढ्दै जाने श्रेणी बनेको ।
7 d दुइ गुणा र 1 ले बढ्दै गएको ।
8 b 22, 42, 62, 82, …… ले श्रेणी बनेको ।
9 d 2, 4, 2, 4  ले बढ्दै गएको छ ।
10 c श्रेणी क्रमशः 11, 22, 33,…… ले बढ्दै गएको छ ।
11 b 2, 3, 4 ,..को वर्ग जोडिदै श्रेणी बनेको छ
12 b   6, 7, 8 ,..को घन संख्याबाट श्रेणी बनेको ।
13 b 12, 13, 22, 23, …… ले बढ्दै गएको छ ।
14 c श्रेणीमा क्रमशः पहिलो पदलाई 3ले गुणन गरी दोस्रो पद र दोस्रो पदलाई 2 ले गुणन गरी तेस्रो पद निर्धारण गरिएको छ र यो क्रम दोहोरिएको छ ।
15 a यहाँ दुई श्रेणी छन् । पहिलो 4, 7, 10, ……. / दोस्रो 11, 14, 17, …… .
16 a यहाँ, दुई श्रेणी छन् । पहिलो, 3, 5, 8, 12, ….. / दोस्रो 2, 3, 4, 5 …….
17 a  5, 4, 3, 2, ….. ले गुणन हुँदै श्रेणी बनेको छ ।
18 b 1, 2, 3, 4 ,..बढ्दै जाने श्रेणी बनेको छ
19 c   10, 12, 14, 16  ले बढ्दै गएको ।
20 a 73, 72, 63, 62, 53, 52,……. गर्दै श्रेणी बनेको छ
21 a Fibonancy  श्रेणी
22 a 102 + 1, 82 + 1, 62 + 1, ….. श्रेणी छ ।
23 b    x/y, y+1/x+1, x+2/y+2 को हिसाबले अगाडि बढ्ने श्रेणी बनेको छ ।
24 a  

पहिलो संख्या 70 प्रत्येक दुई संख्यापछि दोहोरिएको छ । अरु संख्याको श्रेणी छ ले बढ्दै गएको छ ।

25 b  

Fixed संख्या 10 प्रत्येक दुई संख्यापछि दोहोरिएको छ र श्रेणी 5, 7, 9, 11, …… बनेको छ ।

26 a क्रमशः +4, –3 ले अगाडि बढ्दै जाने श्रेणी बनेको छ ।
 27 d अघिल्लो पदलाई 2 ले गुणन गरीL 1, 2, 3, ….. घटाउँदा श्रेणी बनेको छ ।
28 c  

दिइएको श्रेणी क्रमश :+ 3, + 6, +12, + 24 …. ले बढेको छ   क्रमसंख्या 46 + 48 = 94

29 c  

दिइएको श्रेणी क्रमशः 2, × 4, ¸2, × 4 …. ले बढेको छ ।

क्रम संख्या1 92 , 2 = 96

30 d  

दिइएको श्रेणी क्रमश: (× 2 + 1) (× 2 +2), (× 2 + 3), (× 2 +4) …….ले बढेको छ ।

क्रम संख्या  59 × 2 + 4 = 122

31 c दिइएको श्रेणी क्रमश समान अन्तरले बढेको छ ।

a + (n – 1)d = 320

5 + (n – 1) × 3 = 320

= 106

32 b  

दिइएको श्रेणी क्रमश पहिलो र दोस्रो, दोस्रो र तेस्रो ….. गर्दै गुणन भएर बढेको छ ।    श्रेणी क्रम                 10 × 50  = 500

33 b  

दिइएको श्रेणी क्रमश पहिलो र दोस्रोमा +2 ले बढी छ र दोस्रो बाट तेस्रो ×2 ले बढेको छ ।

क्रम संख्या 30 × 2 = 60

र यो पनि

लोक सेवा तयारी  आई क्यू – सेट (१)

 

 

चैत्र २७ गते, २०७५ - ०८ः०० प्रकाशित

प्रतिकृया लेख्नुहोस्:

gsdfs dfg